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圆专题复习

发布者:王坤 文章来源:李静 发布时间:2020年11月04日 点击数:

《圆》专题复习

滨州实验学校  李静

本专题在近两年山东各地市中考中的考查情况统计分析:

2020年                        2019年

济南:23题 解答8分       第23题解答8分

青岛:选择第6题3分      第5题选择3分  第12题填空3分        

填空14题3分  

15题作图4分

淄博市:23题9分         第22题解答8分

菏泽市:填空13题 3分    第6题选择3分  第22题解答题10分

        解答22题10分

德州市:解答22题12分    第17题填空4分  

滨州市:填空16题 5分     第6题选择3分    解答13题13分

        解答25题13分

济宁市:填空15题3分     第14题填空3分  解答20  8分

        解答21题9分

泰安市:选择第8题3分   选择第9题3分第11题3分 填空15题

       填空16题4分      4分

烟台市:解答22题9分    第12题3分 第18题3分 第22题9分

临沂市:选择14题3分    第11题选择3分 第23题解答9分

        解答24题9分

枣庄市:填空15题4分     第23题8分  

        解答23题8分

聊城市:填空14题3分     第8题3分   第24题10分

解答24题10分

东营市:填空17题4分     第16题填空3分 第21题8分

        解答20题8分

威海市:解答22题9分     第12题选择3分  第25题解答12分

日照市:选择第10题3分   第16题填空4分  21题解答12分

        解答21题14分

潍坊市:选择11题3分    第25题13分

本章的主要内容是:圆的有关概念,垂径定理,弧弦圆心角的关系,圆周角定理,点直线和圆的位置关系及弧长,扇形面积公式,对于圆的有关概念,主要考查学生识图能力;对于垂径定理,主要考查学生对半径,弦和弦心距之间关系的理解;对于圆心角和圆周角,主要考查学生能否从图形中识别角,并能将他们相互转化。对于点和圆,直线和圆的位置关系,主要考查学生能否用点到点及点到直线的距离对其表示;对于弧长,扇形面积公式,主要考查学生能否利用它们解决圆锥侧面展开图等问题。

本专题在中考中的地位和作用:本专题是中考的必考内容,从各地市中考的情况来看,切线的判定和性质是考查的重要内容,一般作为解答题来考查,难度不是太大,相对基础,一般圆与相似还有锐角三角函数,求阴影面积等知识点掺杂在一起考查。其次圆周角定理垂径定理也是一个重要的考点,比如今年中考题的填空题就考查了圆周角定理的应用,但是看似简单,实则学生掌握很差。得分率很低。

本专题重点要求掌握要求学生掌握圆的有关性质,直线和圆的位置关系,以及弧长和扇形的面积等计算问题,其中,圆的有关性质既是全章的基础,又是学好本专题的关键。本专题的综合性较强,经常要用到前面学过的几何知识,学生学习时,经常会因为以前知识掌握不牢而造成困难,这是本专题学习的难点。

这部分知识的复习,比如切线的判定和性质是中考的必考点,虽然难度不大,19年下学期初三复习的时候,记得讲过一节公开课,切线的有关内容,其中在复习切线的判定和性质的时候,用的还是两个班A层的学生,学生对切线的性质和判定理解不深,不能准确的利用切线的性质解题,很简单的两个题,但是看得出来行学生对切线辅助线的做法也并不明确。

例1.2018滨州中考,22题)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,ADCD于点D,且AC平分∠DAB,求证:直线DC是⊙O的切线.

 

 

 

2. (2018临沂中考数学,23题)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.

求证:AC是⊙O的切线

 

 

 

 

2是课本上的例题,我们发现课本难度的题学生其实掌握并不好,学生对性质和判定混淆不清,甚至成绩比较好的同学在提问时都搞不清,我们在复习的时候往往讲一些偏难的题,所以建议老师们在复习的时候还是重基础,把基础知识带领学生理清楚,把证切线这样的分数能比较稳的拿到手。通过证明让学生清楚判定切线的方法:(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;

总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

 

现在我们来看一下这几种模型:一条切线的时候,切线的定义;两条切线的时候,切线长定理,切线长的定义;三条切线的时候,内切圆的定义。这几种模型所对应的习题模型我们来看一下,我们来看课后习题课本98页练习2是两条切线平行的情况,101页习题3、6。102页第10题,122页第1题第(3)是两条切线相交的情况,102页11题13题,125页15题是三条切线的情况,同时125页15题也是今年中考25题的原型,今年出题就是依据这个原型改编的,本来中考25题还有一个第三问求阴影部分,但是考虑到疫情期间降低难度,提高学生得分,又把第三问求阴影部分去掉了,但是学生仍然很难得分。这部分考查解答题除了切线的性质和判定外,另外圆与相似,锐角三角函数的结合也是考查的重点,求阴影部分的面积也是重要的考查点。所以复习建议大家把课本复习扎实的基础上进一步的进行拓展延伸。

25.(本小题满分13分)

如图,AB是⊙O的直径,AMBN是它的两条切线,过⊙O

上一点E作直线DC,分别交AMBN于点DC,且DA=DE.

(1)求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)求证:.

本题满分13分,平均分4.19分,难度系数0.32,属难档题。

本题主要考查切线、全等三角形、相似三角形、平行线的性质与判定等知识,但随着学生所添加辅助线的不同,在解答过程中也应用到了勾股定理及其逆定理、角平分线性质及等腰三角形的有关性质和判定,甚至有用到线段的垂直平分线的判定方法。所以此题的综合性很强,极大程度地考查学生的逻辑推理能力、图形的转换能力、等量代换的意识,能够很好地考查出学生在平时学习过程中对条件整合、合理运用的数学综合能力。学生不仅要知道知识点的结论(是什么),还要明白知识点的来源与发展(为什么),这方面的考查显得更为重要。

典型问题一 在证明CD是切线时出现的问题:①学生在证明过程中常常由角度得到切线,而不是由位置关系得切线,漏掉了必要的垂直条件;②在运用切线性质时,学生常常不说明因谁是切线,得到了垂直关系,而是直接将垂直关系当作已知条件使用;③作辅助线时,让辅助线附加了其它的性质,如:连接OD使ODAE等,这样的辅助线是不得分的;④对切线长定理的记忆混乱,自创定理,如:因为AM为切线,DA=DE,且OAOE为半径,所以DE为圆的切线,依据为切线长定理。

典型问题二 在证明角相等时出现的问题:①推理的依据不充分是本小题的典型错误,如在不写明条件的情况下,只写出性质或定理的结论;②错用定理或性质,如利用切线长定理得到∠EOD=∠AOD,当∠OBC=∠OAD =90°时,AM//BN等都是错误的!③推理证明时,思维不清晰,所以就出现了罗列条件的现象,如把许多条件都写出来,然后得到多个结论,且看不出条件与结论的对应关系,有堆砌之嫌;④推理过程中出现循环论证的问题,如利用∠DOE =∠OCE及它们的正切值相等,得到,从而得出结论;⑤基本概念不扎实,如部分学生运用了四边形AODE与四边形EOBC相似的方法,但是推理都不完整,只证明出对应的角都相等,忽略了四条边对应成比例这个条件,从而出现错误。

圆专题基本知识点概括:

一、与圆有关的概念

1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。

2.圆的性质:(1)圆具有旋转不变性;(2)圆具有轴对称性;(3)圆具有中心对称性。

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

4.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

5.圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

6.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。

7.圆周角:顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。
8.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

10. 点和圆的位置关系:

① 点在圆内点到圆心的距离小于半径

② 点在圆上点到圆心的距离等于半径

③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径

11. 过三点的圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。

12. 外接圆和外心:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心,叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。

13.若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。

14.圆内接四边形的特征:

①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

15.直线与圆有3种位置关系:

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么

① 直线和⊙O相交;

② 直线和⊙O相切;

③ 直线和⊙O相离。

16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。

17.切线的性质

(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

18.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

19.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角。

20.设圆的半径为,圆的半径为,两个圆的圆心距,则:

 两圆外离 ;

 两圆外切 ;

 两圆相交 ;

 两圆内切 ;

 两圆内含

21.圆中几个关键元素之间的相互转化

弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

22.与圆有关的公式

设圆的周长为r,则:

(1)求圆的直径公式d=2r

(2)求圆的周长公式 c=2πr

(3)求圆的面积公式s=πr2

二、解题要领

1.判定切线的方法:

(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;

(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;

总而言之,要完成两个层次的证明:

①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算:

计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:

(1)构造思想:①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数.

(2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。

(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

 

 

 

 

 

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